509. 斐波那契数

题目描述

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：
0 <= n <= 30

题目地址

LeetCode509. 斐波那契数

解题思路

在解题之前，我们需要了解什么是斐波那契数列 👉 点我查看

由定义可知，从第三个数开始，其值为前两个数值之和，即F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)。并且给定了F(0)和F(1)的初始值，那么我们可以进行分解。

要求F(n) 则需要先求F(n - 1) 和 F(n - 2);

要求F(n - 1) 则需要先求F(n - 1 - 1) 和 F(n - 1 - 2);

...以此类推

要求F(2) 则需要先求F(1) 和 F(0);

此时的F(1) 和 F(0)都是已知条件，则可以求的结果。

方法1️⃣：递归法

代码Code

// 递归法
public int fib(int n) {
    // 退出递归的条件
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2 ^ n)。

• 空间复杂度：O(n)。

方法2️⃣：动态规划法1：（使用dp数组进行记录）

代码Code

// 动态规划法1：（使用dp数组进行记录）
public int fib(int n) {
    if (n < 2) {
    return n;
    }

    // dp[i] 记录的是 第 i 个斐波那契数
    int[] dp = new int[n + 1];

    // 数组初始化： dp[0] = 0;dp[1] = 1;
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;

    // 确定遍历顺序 ： n 从小到大遍历
    for (int i = 2; i < dp.length; i++) {
    // 递推公式 ： dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    // 举例推导dp数组
    // 0 1 1 2 3 5 8 13 21
    return dp[n];
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。

• 空间复杂度：O(n)。

方法3️⃣：动态规划法2：（使用dp数组进行记录）

代码Code

// 动态规划法2：仅维护两个需要递推的数值，不需要记录整个dp数组（优化）
public int fib(int n) {
    if (n < 2) {
    return n;
    }
    // 定义 dp 数组
    int[] dp = new int[2];

    // dp 数组的初始化
    // dp[0] = 0; int 数组初始化会将所有的元素默认初始化为 0
    dp[1] = 1;

    // 循环 n - 1 次即可得到第 n 个斐波那契数
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    int num = dp[0] + dp[1];
    dp[0] = dp[1];
    dp[1] = num;
    }
    return dp[1];
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。

• 空间复杂度：O(1)。